Question

直線

2

ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點（其中a，b是實數），且△AOB是直角三角形（O是坐標原點），則點P（a，b）與點(0，5-

2

)之間距離的最大值為

5

．

Answer 1

分析：由題意可得圓心到直線

2

ax+by=1的距離等于

2

2

，化簡可得a2+ 

b2

2

=1，故點P（a，b）在橢圓 x2+ 

y2

2

=1 
上，可得當點P的坐標為（0，-

2

）時，點P（a，b）與點(0，5-

2

)之間距離最大．

解答：解：由題意可得△AOB是等腰直角三角，且兩直角邊的長等于1．
故圓心（0，0）到直線

2

ax+by=1的距離等于

2

2

，∴

1

2a2+ b2

=

2

2

，
化簡可得 2a²+b²=2，即a2+ 

b2

2

=1．
故點P（a，b）在橢圓 x2+ 

y2

2

=1 上．
故點P（a，b）與點(0，5-

2

)之間距離的最大值為點（0，-

2

）與點(0，5-

2

)之間的距離，其值等于5，
故答案為 5．

點評：此題考查學生靈活點到直線的距離公式化簡求值，綜合運用所學的知識求動點形成的軌跡方程，是一道綜合題．