Question

直線

2

ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A、B兩點（其中a，b是實數），且△AOB是直角三角形（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最小值為（　　）

• A、0
• B、

  2

• C、

  2

  -1
• D、

  2

  +1

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，過O作OC垂直于弦AB，由△AOB是直角三角形且|OA|=|OB|=1，可得此三角形為等腰直角三角形，根據等腰三角形的三線合一可得C為斜邊AB的中點，利用勾股定理求出|AB|的長，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的半徑可求出|OC|的長，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知的直線的距離，令求出的距離等于求出的|OC|的長，可得a與b的關系式，從而用b表示出a且得到b的范圍，最后利用兩點間的距離公式表示出所求兩點間的距離d，把表示出的a代入得到關于b的二次三項式，設被開方數為f（b），可得此函數為開口向上，且對稱軸為x=2的拋物線，根據b的范圍判定得到函數為減函數，把b的最大值代入d可求出d的最小值．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
過O作OC⊥AB，因為△AOB為等腰直角三角形，所以O為弦AB的中點，
又|OA|=|OB|=1，根據勾股定理得：|AB|=

2

，
∴|OC|=

1

2

|AB|=

2

2

，
∴圓心到直線的距離為

1

2a2+b2

=

2

2

，即2a²+b²=2，即a²=-

1

2

b²+1，
∴-

2

≤b≤

2

，
則點P（a，b）與點（0，1）之間距離d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

1 2 b2-2b+2

，
設f（b）=

1

2

b²-2b+2，此函數為對稱軸為x=2的開口向上的拋物線，
∴當-

2

≤b≤

2

＜2時，函數為減函數，
∵f（

2

）=3-2

2

，
∴d的最小值為

3-2 2

=

( 2 -1)2

=

2

-1．
故選C

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有等腰直角三角形的性質，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，以及二次函數的圖象與性質，利用了數形結合及函數的數學思想，其中表示出所求的距離d，由自變量b的范圍，根據二次函數的圖象與性質判斷得出函數f（b）為減函數是解本題的關鍵．