Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，其右焦點到直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離為$\frac{1}{2}$，則此雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 運用離心率公式，可設c=2t，a=$\sqrt{3}$t，b=t（t＞0），再由右焦點到直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離為$\frac{1}{2}$，求得t=1，進而得到a，b，以及雙曲線方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
可設c=2t，a=$\sqrt{3}$t，b=t（t＞0），
由右焦點到直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離為$\frac{1}{2}$，
可得c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}$，
即2t-$\frac{3}{2}$t=$\frac{1}{2}$，
解得t=1，
則a=$\sqrt{3}$，b=1，
故雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查離心率公式和點線距離公式，屬于基礎題．