Question

5．設函數f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$，其中a∈R．
（1）若a=1時，討論函數f（x）的單調性并用定義給予證明；
（2）若函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），求得單調區間，由定義證明單調性，注意取值、作差、變形和定符號、下結論；
（2）應用定義，取值、作差、變形和定符號、下結論，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，$f（x）=1-\frac{2}{x+1}$，在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，+∞）單調遞增，
設x₁，x₂是區間（-1，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在區間（-1，+∞）上單調遞增；
同理，當x₁，x₂∈（-∞，-1）且x₁＜x₂時，又x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在（-∞，-1）上單調遞增．
（2）設0＜x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
若使f（x）在（0，+∞）上是減函數，只要f（x₁）-f（x₂）＞0，
而$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（a+1）（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$，
所以當a+1＜0，即a＜-1時，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
∴當a＜-1時，f（x）在定義域（0，+∞）內是單調減函數，
即所求實數a的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和證明，以及應用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．