Question

5．函數f（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）試求f（x）的單調區間；
（2）求證：數列{a_n}為遞減數列，且a_n＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）x＞0時，e^x-1-x＞0，得到x＞0時$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，根據數學歸納法證明即可．

解答 （1）解：易知f（x）的定義域為{x|x≠0}，
對函數f（x）求導得：f′（x）=$\frac{{e}^{x}x{-e}^{x}+1}{{（e}^{x}-1）x}$，
令g（x）=e^xx-e^x+1，g′（x）=xe^x，
令g′（x）＞0，解得：x＞0，令g′（x）＜0，解得：x＜0，
故g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故g（x）≥g（0）=0，
故e^xx-e^x+1≥0恒成立，x≠0，
又$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞0，∴f′（x）＞0，
所以f（x）的增區間為（-∞，0），（0，+∞），
（2）證明：易知當x＞0時，e^x-1-x＞0，所以x＞0時$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，
用數學歸納法證明：
對任意n∈N^*，都有0＜a_n+1＜a_n，
①n=1時，a₁=1，a₂=f（a₁）=f（1）=ln（e-1），
由于1＜e-1＜e，故0＜ln（e-1）＜1，即0＜a₂＜a₁，
②假設n=k（k∈N^*）時結論成立，
即0＜a_k+1＜a_k，
∵f（x）在（0，+∞）遞增，
∴0＜f（a_k+1）＜f（a_k），即0＜a_k+2＜a_k+1，
因此n=k+1（k∈N^*）時結論成立，
由①②可知，0＜a_k+1＜a_k對任意n∈N^*都成立，
故數列{a_n}為遞減數列，且a_n＞0恒成立．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．