Question

19．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2m，x≥m}\\{-x，-m＜x＜m}\\{x+2m，x≤-m}\end{array}\right.$，其中m＞0，若對任意實數x，都有f（x）＜f（x+1）成立，則實數m的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，畫出f（x）的圖象，向左平移一個單位可得f（x+1）的圖象，由x≤-m，f（x）的圖象與x≥m-1的圖象重合，可得m的一個值，進而通過圖象可得m的范圍．

解答 解：由函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2m，x≥m}\\{-x，-m＜x＜m}\\{x+2m，x≤-m}\end{array}\right.$，其中m＞0，
可得f（x+1）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1-2m，x≥m-1}\\{-x-1，-m-1＜x＜m-1}\\{x+1+2m，x≤-m-1}\end{array}\right.$，
作出y=f（x）的簡圖，向左平移1個單位，可得y=f（x+1），
由對任意實數x，都有f（x）＜f（x+1）成立，
只要f（x）的圖象恒在f（x+1）的圖象上，
由x≤-m，f（x）的圖象與x≥m-1的圖象重合，可得
2m=1-2m，解得m=$\frac{1}{4}$，
通過圖象平移，可得m的范圍為0＜m＜$\frac{1}{4}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查不等式恒成立問題，注意轉化為圖象間的關系，通過平移，考查數形結合思想方法的運用，屬于中檔題．