Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若，求函數的單調遞減區間；

（Ⅱ）證明當時， ；

（Ⅲ）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）整數的最小值為2．

【解析】試題分析：（1）求出導數，解即可求出單減區間；（2）由（Ⅰ）得： 在遞減，∴，故， 時， ，分別令，累加即可得證；（3）由恒成立得在上恒成立，問題等價于在上恒成立，只需利用導數求的最大值即可.

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以

此時， ，

由，得，又，所以，所以的單調減區間為．

（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得： 在遞減，∴，

故， 時， ，分別令，

故 ，

∴時， ．

（Ⅲ）由恒成立得在上恒成立，問題等價于在上恒成立．

令，只要．

因為，令，得．

設， 在上單調遞減，不妨設的根為．當時， ；當時， ，

所以在上是增函數；在上是減函數．

所以 ．

因為， ，所以，此時，即．

所以整數的最小值為2．