Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若時， ，求的最小值；

（Ⅱ）設數列的通項，證明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求導后可得，按照三種情況對進行討論，最后可得符合題意．(Ⅱ)由條件可得 ，構造函數即當時， ，且當時， ，從而得到．令，則，……， ，將以上各式兩邊分別相加整理后可得結論．

試題解析：

（Ⅰ）由已知可得，

∵，

∴，且

①若，則當時， ， 單調遞增，

∴．不合題意．

②若，則當時， ， 單調遞增，

所以當時， ．不合題意．

③若，則當時， ， 單調遞減，

所以當時， ．符合題意．

綜上．

∴實數的最小值為.

（Ⅱ）由于

當，由（Ⅰ）知， ，且當時， ，

即,

令，則，

∴，

，

，

……

．

以上各式兩邊分別相加可得

，

即

，

所以．