Question

如圖，在三棱柱中，側面為菱形，且，，是的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求證：∥平面．

 

Answer 1

(1)證明見解析；(2)見解析．

【解析】

試題分析：(1)要證面面垂直，根據判定定理，要證線面垂直，也即要找線線垂直，在這個三棱柱中，已知的或者顯而易見的垂直是我們首先要考慮的，如是底面等腰三角形的底邊的中點，則有，又側面是菱形且，那么在中可求得，即，從而我們可得到，結論得出；(2)要證線面平行，就是要在平面內找一條與待證直線平行的直線，這里我們可以想象一下，把直線平移，平移到過平面時，那么要找的直線就出來了，本題中把直線沿方向平移，當與重合時，要找的直線就有了，因此我們通過連接與相交于，就是我們所需要的平行線．當然解題時注意定理所需的條件一個都不能少．

試題解析：（1）證明：∵為菱形，且，

∴△為正三角形． 2分

是的中點，∴．

∵，是的中點，∴． 4分

，∴平面． 6分

∵平面，∴平面平面． 8分

（2）證明：連結，設，連結．

∵三棱柱的側面是平行四邊形，∴為中點． 10分

在△中，又∵是的中點，∴∥． 12分

∵平面，平面，∴∥平面． 14分

考點：(1)面面垂直；(2)線面平行．