Question

6．（Ⅰ）已知a＞0，求證：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2
（Ⅱ） 已知p，q，r都是正數(shù)，求證：關(guān)于x的三個(gè)方程8x²-8$\sqrt{p}$x+q=0，8x²-8$\sqrt{q}$x+r=0，8x²-8$\sqrt{r}$x+p=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．

Answer 1

分析 （I）使用分析法證明；
（II）使用反證法證明．

解答 證明：（Ⅰ）要證：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2，
  只需證：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$
只需證：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+4+4$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2+2+2$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
即證：2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
只需證：4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥2（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2），
即證：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，
而上式顯然成立，
原不等式成立．
（Ⅱ）假設(shè)三個(gè)方程均無(wú)不相等的實(shí)根，則$\left\{\begin{array}{l}{2p-q≤0}\\{2q-r≤0}\\{2r-p≤0}\end{array}\right.$，
∴p+q+r≤0，與p，q，r都是正數(shù)矛盾．
∴故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分析法與反證法證明不等式，屬于中檔題．