Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（2-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數，那么a的取值范圍是[$\frac{8}{3}$，4）．

Answer 1

分析 當x＞1時f（x）=a^x單調遞增，當x≤1時f（x）=（2-$\frac{a}{2}$）x+2單調遞增，且（2-$\frac{a}{2}$）×1+2≤a¹，由此能求出實數a取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（2-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數，
∴當x＞1時f（x）=a^x單調遞增，則a＞1①；
當x≤1時f（x）=（2-$\frac{a}{2}$）x+2單調遞增，
則2-$\frac{a}{2}$＞0，解得a＜4，②；
且（2-$\frac{a}{2}$）×1+2≤a¹，解得a≥$\frac{8}{3}$，③．
綜合①②③，得實數a取值范圍是[$\frac{8}{3}$，4）．
故答案為：[$\frac{8}{3}$，4]．

點評 本題考查實數值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．