Question

19．已知命題p：方程a²x²+ax-2=0在區(qū)間[0，1]上有解，命題q：對(duì)于?x∈R，不等式sinx+cosx＞a恒成立．若命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．結(jié)合命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得答案．

解答 （本題滿分10分）
解：方程a²x²+ax-2=0的兩根為$-\frac{2}{a}，\frac{1}{a}$，…（2分）
由題意知$0≤-\frac{2}{a}≤1或0≤\frac{1}{a}≤1$，解得a≤-2或a≥1，
即命題p為真命題時(shí)a的取值集合為A=（-∞，-2]∪[1，+∞）．…（4分）
∵sinx+cosx＞a恒成立，所以$a＜{（{sinx+cosx}）_{min}}=-\sqrt{2}$
即命題q為真命題時(shí)a的取值集合為$B=（{-∞，-\sqrt{2}}）$．…（7分）
又∵命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以a的取值范圍為
（（∁_R A）∩B）∪（（∁_R B）∩A）=（-2，-$\sqrt{2}$）∪[1，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題，方程根的個(gè)數(shù)及判斷，函數(shù)恒成立問(wèn)題，難度中檔．