Question

（2014•上海二模）已知：函數f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，

（1）求：函數f（x）的單調區間和極值；

（2）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求：實數a的取值范圍；

（3）當x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：實數k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f（x）的單調遞增區間是，，單調遞減區間是，

當x=﹣時，函數有極大值為5+4，當x=時，函數有極小值為5﹣4

（2）

（3）k≤﹣3．

【解析】

試題分析：（1）先求函數的導數，令導數等于0，求出極值點，再列表判斷極值點左右兩側導數的正負，當左正右負時有極大值，當左負右正時有極小值，且在某區間導數大于0時，此區間為函數的增區間，在某區間導數小于0時，此區間為函數的減區間．

（2）由（1）知函數f（x）的大致圖象，然后將關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，轉化為y=f（x）圖象與直線y=a有3個不同交點，數形結合解決問題

（3）先將f（x）≥k（x﹣1）恒成立，轉化為k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，進而轉化為求函數g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可

【解析】
（1）求函數f（x）=x3﹣6x+5的導數，得f'（x）=3（x2﹣2），

令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，

列表討論f′（x）的符號，得

x
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

∴f（x）的單調遞增區間是，，單調遞減區間是，

當x=﹣時，函數有極大值為5+4，當x=時，函數有極小值為5﹣4

（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向如圖：

若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，即y=f（x）圖象與直線y=a有3個不同交點，

由圖數形結合可得

（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．

∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，

令，則g（x）在（1，+∞）上是增函數，

∴g（x）＞g（1）=﹣3，

∴k≤﹣3．