Question

14．如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABD；
（2）若M為AD中點，AB=BD=1，三棱錐A-MBC的體積為$\frac{1}{12}$，求CD．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥CD，CD⊥BD，從而CD⊥面ABD，由此能證明平面ACD⊥平面ABD．
（2）由AB⊥面BCD，得AB⊥BD，由利用V_A-MBC=V_C-ABM，能求出CD的長．

解答 證明：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
又∵CD⊥BD，且AB∩BD=B，AB，BD?面ABD，
∴CD⊥面ABD，
而CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD．
解：（2）由AB⊥面BCD，得AB⊥BD，
又AB=BD=1，∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}$，
∵M為AD中點，∴${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}{S_{△ABD}}=\frac{1}{4}$，
由（1）知：CD⊥面ABD，
∴三棱錐C-ABM的高h=CD
∵${V_{A-MBC}}={V_{C-ABM}}=\frac{1}{3}{S_{△ABM}}•CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×CD=\frac{1}{12}$，
解得CD=1．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．