Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝aln x＋ (a∈R)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值；

(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

(3)求證ln(n＋1)> (n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）最小值為f(1)＝1.（2）a< .（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題（1）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；

（2）求h′（x），可得，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；

（3）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1，即時(shí)命題成立；設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即成立，再去證明n=k+1時(shí)，成立即可（需用好歸納假設(shè)）．

試題解析：（1），定義域?yàn)?/span>．

在上是增函數(shù)．

．

（2）因?yàn)?/span>

因?yàn)槿?/span>存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解．

即有的解

當(dāng)時(shí)，明顯成立 ．

②當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下的拋物線，總有的解；

③當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上的拋物線，

即方程有正根．

因?yàn)?/span>，

所以方程有兩正根．

當(dāng)時(shí)，；

，解得．

綜合①②③知：．

或：

有的解

即有的解，

即有的解，

的最大值，

（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，．

，

．

(法二)當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．

時(shí)，．

根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．