Question

【題目】已知函數．

1當時，求曲線在處的切線方程；

2若是R上的單調遞增函數，求a的取值范圍；

3若函數對任意的實數，存在唯一的實數，使得成立，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）代入a的值，求出函數的導數，計算f（0），f′（0），求出切線方程即可；（2）問題轉化為f′（x）的最小值f'（x）min≥0，令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x﹣a，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（3）求出函數的導數，通過討論x的范圍，得到關于a的不等式，解出即可．

（1）當a＝1時，，

所以f′（x）＝ex﹣x﹣1，f′（0）＝0，f（0）＝1．

所以曲線y＝f（x）在x＝0處的切線方程為y＝1．　

（2）因為f（x）在R上為單調遞增函數，

所以f′（x）＝ex﹣x﹣a≥0恒成立，即f′（x）的最小值f'（x）min≥0．

令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x﹣a，則g′（x）＝ex﹣1．

在（﹣∞，0），g′（x）＜0，f'（x）單調遞減；在（0，+∞），g′（x）＞0，f'（x）單調遞增．

所以f'（x）min＝f（0）＝1﹣a．

所以1﹣a≥0，即a≤1．經檢驗等號成立

所以若f（x）是R上的單調遞增函數，則a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（3）當x＜0時，t'（x）＝3x2﹣2（a2﹣a+1）x+5，

因為3＞0，，

所以t'（x）在（﹣∞，0）單調遞減，且t'（x）＞5；

當x＞0時，t'（x）＝f'（x）＝ex﹣x﹣a，

由（2）知t'（x）在（0，+∞）遞增，且t'（x）＞1﹣a．

若對任意的實數，存在唯一的實數（≠），使得t'（）＝t'（）成立，則

（ⅰ）當＜0時，＞0．所以1﹣a≤5，即a≥﹣4；

（ⅱ）當＞0時，＜0．所以1﹣a≥5，即a≤﹣4．

綜合（ⅰ）（ⅱ）可得a＝﹣4．