Question

7．已知函數f（x）=（log₂x）²-2（a-1）•log₂x-2（a∈R）在[2，4]上的最小值記為φ（a）．
（1）求φ（a）的表達式；
（2）請用二分法計算函數g（a）=|2^a-1|-φ（a）零點的近似值（精確度0.15）（參考數據2^0.25≈1.2，2^0.375≈1.3）

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，x∈[2，4]，則t∈[1，2]，結合二次函數的圖象和性質，分類討論，可得φ（a）的表達式；
（2）結合零點存在定理，用二分法，可得函數g（a）在區間（0.25，0.375）上有一個零點，進而得到答案．

解答 解：（1）令t=log₂x，x∈[2，4]，則t∈[1，2]，
則v（t）=f（x）=（log₂x）²-2（a-1）•log₂x-2=t²-2（a-1）t-2，
由v（t）=t²-2（a-1）t-2的圖象是開口朝上，且以直線x=a-1為對稱軸的拋物線，
故當a-1＜1，即a＜2時，φ（a）=v（1）=1-2a；
當1≤a-1≤2，即2≤a≤3時，φ（a）=v（a-1）=-a²+2a-3；
當a-1＞2，即a＞3時，φ（a）=v（2）=6-4a；
綜上可得：φ（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-2a，a＜2\\-{a}^{2}+2a-3，2≤a≤3\\ 6-4a，a＞3\end{array}\right.$，
（2）函數g（a）=|2^a-1|-φ（a）在R上是連續函數，
由g（0）=-1＜0，g（1）=2＞0得，函數g（a）在區間（0，1）上有一個零點；
又由g（0.5）=$\sqrt{2}-1$＞0，得，函數g（a）在區間（0，0.5）上有一個零點；
又由g（0.25）=$\root{4}{2}-1-0.5$≈1.2-1.5＜0，得，函數g（a）在區間（0.25，0.5）上有一個零點；
又由g（0.375）=$\root{8}{{2}^{3}}-1-0.25$≈1.3-1.25＞0，得，函數g（a）在區間（0.25，0.375）上有一個零點；
故函數g（a）=|2^a-1|-φ（a）零點的近似值為0.25

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，二分法求函數的零點，難度中檔．