Question

已知F₁、F₂雙曲線的兩焦點，O是坐標原點，直線AB過F₁，且垂直于x軸，并與雙曲線交于A、B兩點，若AO⊥BF₂，則雙曲線的離心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先由題意得：F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，），B（-c，-），從而得到直線AO，直線BF₂的斜率，結合AO⊥BF₂，有：k₁k₂=-1，從而建立a與c的關系，最后即可求得雙曲線的離心率．
解答：解：由題意得：F₁（-c，0），F₂（c，0），
A（-c，），B（-c，-），
∴直線AO的斜率k₁=，直線BF₂的斜率k₂=，
∵AO⊥BF₂，
∴k₁k₂=-1，即
∴b⁴=2a²c²，又b²=c²-a²，
∴（c²-a²）²=2a²c²，
解之得：=
故選C．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題以及雙曲線的簡單性質，由雙曲線幾何性質和AO⊥BF₂，，能夠得出b⁴=2a²c²是解題的關鍵，屬于中檔題．