Question

已知F₁、F₂雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB過(guò)F₁，且垂直于x軸，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若AO⊥BF₂，則雙曲線的離心率e=（　　）

• A、

  3 + 2

  2

• B、

  3 + 6

  2

• C、

  6 + 2

  2

• D、

  6 - 2

  2

Answer 1

分析：先由題意得：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），從而得到直線AO，直線BF₂的斜率，結(jié)合AO⊥BF₂，有：k₁k₂=-1，從而建立a與c的關(guān)系，最后即可求得雙曲線的離心率．

解答：解：由題意得：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∴直線AO的斜率k₁=

b2 a

-c

=-

b2

ac

，直線BF₂的斜率k₂=

- b2 a

-2c

=

b2

2ac

，
∵AO⊥BF₂，
∴k₁k₂=-1，即-

b2

ac

×

b2

2ac

=-1
∴b⁴=2a²c²，又b²=c²-a²，
∴（c²-a²）²=2a²c²，
解之得：

c

a

=

6 + 2

2

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，由雙曲線幾何性質(zhì)和AO⊥BF₂，，能夠得出b⁴=2a²c²是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．