Question

已知F₁、F₂雙曲線的兩焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB過F₁，且垂直于x軸，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若AO⊥BF₂，則雙曲線的離心率e=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先由題意得：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（-c，），B（-c，-），從而得到直線AO，直線BF₂的斜率，結(jié)合AO⊥BF₂，有：k₁k₂=-1，從而建立a與c的關(guān)系，最后即可求得雙曲線的離心率．
解答：由題意得：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
A（-c，），B（-c，-），
∴直線AO的斜率k₁=，直線BF₂的斜率k₂=，
∵AO⊥BF₂，
∴k₁k₂=-1，即
∴b⁴=2a²c²，又b²=c²-a²，
∴（c²-a²）²=2a²c²，
解之得：=
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題以及雙曲線的簡單性質(zhì)，由雙曲線幾何性質(zhì)和AO⊥BF₂，，能夠得出b⁴=2a²c²是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．