Question

（2013•紅橋區(qū)二模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，側面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分別為棱PC，AD的中點．
（1）求證：BC⊥PD；
（2）求異面直線BM與PN所成角的余弦值；
（3）求點N到平面MBD的距離．

Answer 1

分析：因為側面PCD⊥底面ABCD，取DC中點O，因為PC=PD=2，則PO⊥交線CD，所以PO⊥底面ABCD，由此可想到利用空間向量來解決該題．
（1）標出所用點的坐標，求出BC和PD所對應向量的坐標，由兩向量的數量積等于0可證明BC⊥PD；
（2）求出與BM和PN所對應的向量的坐標，直接利用兩向量的夾角公式求異面直線BM與PN所成角的余弦值；
（3）求出平面MBD的一個法向量，在平面MBD內任取一點，和N連結后得到一個向量，直接運用向量求點到面的距離公式求距離．

解答：（1）證明：如圖，
因為側面PCD⊥底面ABCD，取DC中點O，
因為PC=PD=2，則PO⊥交線CD，所以PO⊥底面ABCD，
如圖，以OC，OP所在直線分別為y軸和z軸建立空間直角坐標系，
則A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，

3

），
N（1，-1，0），

BC

=(-2，0，0)，

PD

=(0，-1，-

3

)，
則

BC

•

PD

=0，所以BC⊥PD；
（2）解：

PN

=(1，-1，-

3

)，

BM

=(-2，-

1

2

，

3

2

)
設異面直線BM與PN所成角為θ，
則cosθ=|

PN • BM

| PN |•| BM |

|=

|-2+ 1 2 - 3 2 |

5 • 5

=

3

5

．
所以異面直線BM與PN所成角的余弦值為

3

5

；
（3）解：因為

BD

=(-2，-2，0)，

BM

=(-2，-

1

2

，

3

2

)．
設平面MBD的一個法向量為

m

=（x，y，z），
由

m • BD =0 m • BM =0

，得

-2x-2y=0 -2x- 1 2 y+ 3 2 z=0

，取y=-1，得x=1，z=-

3

．
所以

m

=(1，-1，-

3

)，又

DN

=(1，0，0)，
所以點N到平面MBD的距離d=

| m • DN |

| m |

=

1

5

=

5

5

．

點評：本題考查了線面垂直的性質，考查了異面直線所成的角，考查了空間中點到面的距離，求解的方法是利用空間向量，解答的關鍵是熟練掌握利用空間向量求空間角的公式及點到面的距離公式，是中檔題．