【題目】已知函數
，其中
.
（1）若
是定義在
上的單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）當
時，判斷與
的圖象在其公共點處是否存在公切線？若存在，求滿足條件的a值的個數；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
或
；（2）存在，理由見解析.
【解析】
（1）對函數求導，根據實數a的不同取值進行分類討論，最后可以根據函數的單調區間求出實數a的取值范圍；
（2））假設
，
的圖象在其公共點
處存在公切線，對兩個函數分別求導，根據點在函數圖象上，和切線的斜率列出方程組，化簡得到關于a的方程，構造新函數，根據新函數的零點情況進而可以判斷出方程的根的情況，最后可以判斷出是否存在公切線.
（1）
.
當時，
，故
在
上單調遞減，滿足題意；
當
時，要使得在上單調，則恒有
.
∴
，解得：.
綜上，或
（2）假設，的圖象在其公共點處存在公切線，
則
由①可得：
∴
.
將
代入②，則
，即：
.
令
，則
，故
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
又
，且當
，
；當
，
∴在有兩個零點，即方程在有兩個不同的解.
所以，與
的圖象在其公共點處存在公切線，滿足條件的a值有2個
名師點撥卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
為等邊三角形，
為等腰直角三角形，
.平面
平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側，且
，
.點F為AD中點，連接EF.
（1）求證：
平面ABC；
（2）求證：平面
平面ABD.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年9月24日國家統計局在慶祝中華人民共和國成立70周年活動新聞中心舉辦新聞發布會指出，1952年～2018年，我國GDP查679.1億元躍升至90.03萬億元，實際增長174倍；人均GDP從119元提高到6.46萬元，實際增長70倍.全國各族人民，砥礪奮進，頑強拼搏，實現了經濟社會的跨越式發展.如圖是全國2010年至2018年GDP總量
（萬億元）的折線圖.
注：年份代碼1～9分別對應年份2010～2018.
（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與年份代碼
的關系，請用相關系數加以說明；
（2）建立關于的回歸方程（系數精確到0.01），預測2019年全國GDP的總量.
附注：參考數據：
，
，
，
.
參考公式：相關系數
；
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國家大力提倡科技創新，某工廠為提升甲產品的市場競爭力，對生產技術進行創新改造，使甲產品的生產節能降耗．以下表格提供了節能降耗后甲產品的生產產量
(噸)與相應的生產能耗
(噸)的幾組對照數據．
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程
；
（
，
）
（2）已知該廠技術改造前生產
噸甲產品的生產能耗為
噸，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測節能降耗后生產噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓C：
過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．設點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線l的斜率等于-1，求出k1k2的值；
（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知非空集合
是由一些函數組成，滿足如下性質：①對任意
，
均存在反函數
，且
；②對任意，方程
均有解；③對任意、
，若函數
為定義在
上的一次函數，則
.
（1）若
，
，均在集合中，求證：函數
；
（2）若函數
（
）在集合中，求實數
的取值范圍；
（3）若集合中的函數均為定義在上的一次函數，求證：存在一個實數
，使得對一切，均有
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】正數數列
、
滿足：
≥
，且對一切k≥2，k
，
是
與
的等差中項，
是與的等比中項．
（1）若
，
，求，的值；
（2）求證：是等差數列的充要條件是為常數數列；
（3）記
，當n≥2(n)時，指出
與
的大小關系并說明理由．
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