Question

【題目】正數(shù)數(shù)列、滿足：≥，且對一切k≥2，k，是與的等差中項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)．

（1）若，，求，的值；

（2）求證：是等差數(shù)列的充要條件是為常數(shù)數(shù)列；

（3）記，當(dāng)n≥2(n)時(shí)，指出與的大小關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），.（2）見解析（3）

【解析】

（1）由題意得，解方程組可得所求．（2）證明結(jié)論“當(dāng)為常數(shù)數(shù)列時(shí)，是公差為零的等差數(shù)列”和“是等差數(shù)列時(shí)為常數(shù)數(shù)列”同時(shí)成立即可．（3）由題意證得，進(jìn)而得到，故得，然后通過數(shù)列求和可得結(jié)論成立．

（1）由條件得，即，

解得或，

又≥，

所以．

（2）（充分性）：當(dāng)為常數(shù)數(shù)列時(shí)，是公差為零的等差數(shù)列,即充分性成立．

（必要性）：因?yàn)?/span>

，

又當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對任意恒成立．

所以 ，

因?yàn)?/span>，

所以，即，

從而對恒成立，

所以為常數(shù)列．

綜上可得是等差數(shù)列的充要條件是為常數(shù)數(shù)列．

（3）因?yàn)槿我?/span>，，

又，

所以．

從而

，

即，

則，

所以

．