Question

【題目】橢圓C：過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．設點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如果直線l的斜率等于-1，求出k1k2的值；

（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）利用已知條件求出b，即可求解橢圓方程．

（2）直線l：y=-x+1，設AB坐標，聯立利用韋達定理以及斜率公式求解即可．

（3）當直線AB的斜率不存在時，不妨設A，B，求出斜率，即可；當直線AB的斜率存在時，設其為k，求直線AB：y=k（x-1），聯立直線與橢圓的方程組，利用韋達定理以及斜率

公式化簡求解即可．

解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴橢圓方程為

（2）直線l：y=-x+1，設A（x1，y1）B（x2，y2），

由消y得7x2-8x-8=0，有，．

（3）當直線AB的斜率不存在時，不妨設A（1，），B（1，-），

則，，故k1+k2=2．

當直線AB的斜率存在時，設其為k，則直線AB：y=k（x-1），設A（x1，y1）B（x2，y2），

由消y得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，

有，.

=