Question

已知拋物線上的任意一點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離比該點(diǎn)到軸的距離多1．

（1）求的值；
（2）如圖所示，過定點(diǎn)（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點(diǎn)．
（i）求四邊形面積的最小值；
（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、兩點(diǎn)，試問：直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（i）四邊形面積的最小值是48（ii）

試題分析：（1）直接利用拋物線的定義
（2）（i）S_{四邊形ABCD}，，利用弦長
公式，以及基本不等式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
的解法求解
（ii）恒過定點(diǎn)問題的常規(guī)解法
試題解析：
（1）由已知∴
（2）（i）由題意可設(shè)直線的方程為（），代入得
設(shè)則，
∴
    6分
同理可得                  7分
S_{四邊形ABCD}
 8分
設(shè)則∴S_{四邊形ABCD}
∵函數(shù)在上是增函數(shù)
∴S_{四邊形ABCD}，當(dāng)且僅當(dāng)即即時取等號
∴四邊形面積的最小值是48.   9分
（ii）由①得∴∴
∴，        11分
同理得       12分
∴直線的方程可表示為

即
當(dāng)時得
∴直線過定點(diǎn)（4,0）.                    14分
注：第（2）中的第（i）問：
S_{四邊形ABCD}

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）也可.