Question

18．若函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+6在（0，1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a取值范圍是（　　）

• A． a=1
• B． a≥1
• C． a≤1
• D． 0＜a＜1

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+6在（0，1）上單調(diào)遞減，則f′（x）=3x²-2ax-1≤0，在（0，1）上恒成立，即a≥$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$在（0，1）上恒成立，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+6，
∴f′（x）=3x²-2ax-1，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+6在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=3x²-2ax-1≤0，在（0，1）上恒成立，
即a≥$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$在（0，1）上恒成立，
令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$，則g′（x）=$\frac{3{x}^{2}+1}{2{x}^{2}}$＞0在（0，1）上恒成立，
故g（x）=$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$在（0，1）上為增函數(shù)，
由g（1）=1得：a≥1，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．