Question

10．電商中“貓狗大戰”在節日期間的競爭異常激烈，在剛過去的618全民年中購物節中，某東當日交易額達1195億元，現從該電商“剁手黨”中隨機抽取100名顧客進行回訪，按顧客的年齡分成了6組，得到如下所示的頻率直方圖．
（1）求顧客年齡的眾數，中位數，平均數（每一組數據用中點做代表）；
（2）用樣本數據的頻率估計總體分布中的概率，則從全部顧客中任取3人，記隨機變量X為顧客中年齡小于25歲的人數，求隨機變量X的分布列以及數學期望．

Answer 1

分析 （1）頻率分布直方圖中，根據小矩形最高的一組底邊中點坐標求出眾數，
根據中位數兩邊頻率相等求出中位數的值，
根據每一組底邊中點與對應頻率的乘積求和求出平均數；
（2）用樣本頻率估計總體頻率得年齡小于25歲的概率值，
利用X～B（3，0.3）求出X的分布列和數學期望值．

解答 解：（1）頻率分布直方圖中，[25，35）對應的小矩形最高，
∴眾數為m=$\frac{25+35}{2}$=30，
由頻率分布直方圖，得：
0.01×10+0.02×10=0.3＜0.5，
0.3+0.03×10=0.6＞0.5，
∴中位數在區間[25，35）內，設為n，
則（n-25）×0.03+0.3=0.5，
解得n≈31.7；
平均數為$\overline{x}$=0.01×10×10+0.02×10×20+0.03×10×30
+0.025×10×40+0.01×10×50+0.005×10×60=32；
（2）用樣本頻率估計總體頻率，知年齡小于25歲的概率為0.3，且X～B（3，0.3），
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•（1-0.3）³=0.343，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•（1-0.3）²•0.3=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•（1-0.3）•0.3²=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•0.3³=0.027；
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

數學期望為EX=3×0.3=0.9．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了平均數、中位數與眾數的計算問題，是綜合題．