Question

（本題滿分12分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

（1）當，是否在折疊后的AD上存在一點，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P點位置，若不存在，說明理由；

（2）設BE＝x，問當x為何值時，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

 

Answer 1

（1）存在，且；（2）當x＝3時，有最大值，最大值為3．

【解析】

試題分析：（1）當時，由題意可知，則考慮取點于處，過點作，交于點，由平行線分段成比例定理易知，所以，又因為，所以且，

（2）根據題意易知為三棱錐的高，則底面的長為，高為，所以，從而可求出當時，有最大值，最大值為3.

試題解析：（1）存在使得滿足條件CP∥平面ABEF，且此時． 2分

下面證明： ，過點作MP∥FD，與AF交于點，則有，又FD＝，故MP＝3，又因為EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MPEC，故四邊形MPCE為平行四邊形，所以PC∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立． 6分

（2）因為平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．

由已知BE＝x，，所以AF＝x（0x4），FD＝6x．

故．所以，當x＝3時，有最大值，最大值為3.

考點：1.平面圖形與立體圖形的轉化；2.線面平行的判定；3.三棱錐的體積.