Question

（文）若數列{a_n}的前n項和為S_n，有下列命題：
（1）若數列{a_n}是遞增數列，則數列{S_n}也是遞增數列；
（2）無窮數列{a_n}是遞增數列，則至少存在一項a_k使得a_k＞0；
（3）若{a_n}是等差數列（公差d≠0），則S₁•S₂•…•S_k=O的充要條件是a₁•a₂•…•a_k=O；
（4）若{a_n}是等比數列，則S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）的充要條件是a_n+a_n+1=0．
其中，正確命題的個數（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：等差數列的性質,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：利用等差數列、等比數列的定義和性質，數列的前n項和的意義，通過舉反例可得（1）（2）（3）不正確．經過檢驗，只有（4）正確，從而得出結論．

解答：解：（1）數列{a_n}的前n項和為S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，若數列{a_n}是遞增數列，則數列{S_n}不一定是遞增數列，如a_n=n-60，當a_n＜0 時，數列{S_n}是遞減數列，故（1）不正確．
（2）無窮數列{a_n}是遞增數列，則不一定存在一項a_k使得a_k＞0，不正確；
（3）若{a_n}是等差數列（公差d≠0），則由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，例如數列：-3，-1，1，3，滿足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故（3）不正確．
（4）一方面：若{a_n}是等比數列，則由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），從而當k=2時，有S₁•S₂=0⇒S₂=0⇒a₁+a₂=0，∴a₂=-a₁，
從而數列的{a_n}公比為-1，故有a_k+a_k+1=a_k-a_k=0．
另一方面，由a_k+a_k+1=0可得a_k=-a_k+1，∴a₂=-a₁，可得S₂=0，
∴S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故（4）正確．
故選B．

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的定義和性質，數列的前n項和的意義，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．