Question

8．下列命題中錯誤的個數為：（　　）
①y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$的圖象關于（0，0）對稱；
②y=x³+x+1的圖象關于（0，1）對稱；
③y=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$的圖象關于直線x=0對稱；
④y=sinx+cosx的圖象關于直線x=$\frac{π}{4}$對稱．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性判斷，①③，根據對稱的定義判斷②，根據三角函數的圖象判斷④

解答 解：①y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$，f（-x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{x}-1+1}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$）=-f（x），
∴函數為奇函數，則圖象關于（0，0）對稱，故正確
②y=x³+x+1的圖象關于（0，1）對稱；
由題意設對稱中心的坐標為（a，b），
則有2b=f（a+x）+f（a-x）對任意x均成立，代入函數解析式得，
2b=（a+x）³+3（a+x）+1+（a-x）³+3（a-x）+1對任意x均成立，
∴a=0，b=1
即對稱中心（0，1），故正確
③y=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$的圖象關于直線x=0對稱，因為函數為偶函數，故函數關于y軸（x=0）對稱，故正確，
④y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象關于直線x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$對稱，即x=$\frac{π}{4}$對稱，故正確．
故選：A

點評 本題考查了函數對稱中心和對稱軸的問題，關鍵是掌握其概念，屬于中檔題．