Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求證：PB∥平面AEC．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，從而AC⊥平面PAB，由此能證明AC⊥PB．
（Ⅱ）連接BD，與AC相交于O，連接EO，由已知得EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．

解答： （Ⅰ）證明：∵在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，
AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥AB，AC⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）證明：連接BD，與AC相交于O，連接EO，
∵ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，又E是PD的中點，
∴EO∥PB，
又PB不包含于平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養．