Question

各項均為正數的數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}的前n項和，且2S_n=a_n²+a_n，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設c為實數，如果對任意的正整數n，不等式

an+2

-

an

＞

c

an+2

恒成立，求證：c的最大值為1．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用a_n與s_n的關系和題意得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n，＞0的a_n-a_n-1-1=0，判斷出數列{a_n}是等差數列，根據等差數列的通項公式求出a_n；
（2）由（1）和分子有理化化簡

an+2

-

an

＞

c

an+2

，得到c＜

2

1+ 1- 2 n+2

對對任意的正整數n恒成立，再求出

2

1+ 1- 2 n+2

的范圍，即可證明結論．

解答： 解：（1）由題意得，2S_n=a_n²+a_n，且a_n，＞0，①
當n=1時，2S₁=a₁²+a₁，解得a₁=1或a₁=0（舍去），
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，②
①-②得，2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
化簡得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n+a_n-1，＞0，所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1，
所以數列{a_n}是以1為首項、公差的等差數列，
則a_n=1+（n-1）=n；
證明：（2）由（1）得，

an+2

-

an

＞

c

an+2

為：

n+2

-

n

＞

c

n+2

，
即c＜

n+2

（

n+2

-

n

）=

n+2 ( n+2 - n )( n+2 + n )

n+2 + n

=

2 n+2

n+2 + n

=

2

1+ n n+2

=

2

1+ 1- 2 n+2

，
因為

1- 2 n+2

＜1，所以

2

1+ 1- 2 n+2

＞1，
因為不等式

an+2

-

an

＞

c

an+2

對任意的正整數n恒成立，
即c＜

2

1+ 1- 2 n+2

對任意的正整數n恒成立，
所以c≤1，則c的最大值為1．

點評：本題考查數列a_n與s_n的關系，等差數列的通項公式，不等式恒成立求參數范圍轉化為求范圍問題，考查探索、分析及論證的能力．