Question

【題目】已知函數圖像上一點處的切線方程為

（1）求的值；

（2）若方程在區間內有兩個不等實根，求的取值范圍；

（3）令如果的圖像與軸交于兩點，的中點為，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據導數的幾何意義可知，利用切線方程求得，代入曲線可得關于的方程，與聯立可構造方程組求得結果；（2）將問題轉化為與的圖象在上有兩個交點；利用導數得到在上的單調性和最值，從而確定有兩個交點時的取值范圍，進而得到結果；（3）采用反證法，假設，利用在上，中點坐標公式和可化簡整理得到，令，構造函數，利用導數可知在上單調遞增，從而得到，與等式矛盾，可知假設不成立，從而證得結論.

由題意得：定義域為；

（1）在處的切線方程為：

，解得：

（2）方程在區間內有兩個不等實根等價于與的圖象在上有兩個交點

由（1）知：，

當時，；當時，

在上單調遞增，在上單調遞減

又，

，解得：

（3），則

假設，則有：

…①；…②；

…③；…④

①②得：

由④得： ，即：

，即

令，由得：

設，

在上單調遞增

不成立，即假設不成立