Question

函數f（x）為定義在R上的奇函數，當 x∈（0，1）時，．
（1）求函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（0，1）上的單調性并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）為定義在R上的奇函數，可得f（0）=0；再根據當x∈（0，1）時的表達式，可得x∈（-1，0）時，
f（x）=-，綜上所述即得函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用單調性的定義，令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=，因為-＜0，•＞0，所以f（x₁）＜f（x₂）．由此可得，函數f（x）在（0，1）上的是單調增函數．
解答：解：（1）∵函數f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
當x∈（-1，0）時，f（-x）===-f（x），
∴x∈（-1，0）時，f（x）=-
綜上所述，
（2）∵當 x∈（0，1）時，．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=-=
∵-＜0，＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函數f（x）在（0，1）上的是單調增函數．
點評：本題以含有指數式的分式函數為例，考查了函數的單調性與奇偶性等簡單性質等知識點，屬于中檔題．