Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁=A₁C₁，點D、F分別是棱BC、CC₁上的中點，點E是CC₁上的動點
（Ⅰ）證明：A₁F∥平面ADE；
（Ⅱ）證明：A₁F⊥DE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)已知條件建立線線平行的條件，進一步利用線面平行的判定定理得到結(jié)論．
（Ⅱ）首先證明線面垂直，進一步轉(zhuǎn)化成線線垂直．

解答： （Ⅰ） 證明：連結(jié)DF，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BD，AC點D、F分別是棱BC、CC₁上的中點，
∴BD平行且等于B₁F，
∴四邊形BDFB₁是平行四邊形，
∴BB₁平行且等于DF，
∴BB1平行且等于A

A

1

，
∴四邊形AA₁FD是平行四邊形，
∴A₁F∥AD，
又

∵A1F

?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．                                            
（Ⅱ）證明：由BB₁⊥平面A₁B₁C₁，又A₁F?平面A₁B₁C₁，
所以BB₁⊥A₁F，
在三角形A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，且F為B₁C₁的中點，
所以B₁C₁⊥A₁F，
又BB₁∩B₁C₁=B₁，
所以A₁F⊥平面BCC₁B₁．
又點D、E分別是棱BC、CC₁上的點，
所以DE?平面BCC₁B₁，所以A₁F⊥DE．

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題型．