Question

無論a取何值，函數y=a^x-2（a＞0，且a≠1）的圖象過定點A，而A在直線mx+ny-2=0上（m＞0，n＞0），則

2

n

+

1

m

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：依題意，可求得A（2，1），將其代入直線方程mx+ny-2=0，利用基本不等式即可求得

2

n

+

1

m

的最小值．

解答：解：∵函數y=a^x-2（a＞0，且a≠1）的圖象過定點A（2，1），
又點A（2，1）在直線mx+ny-2=0上（m＞0，n＞0），
∴2m+n=2，（m＞0，n＞0），
∴

2

n

+

1

m

=（

2

n

+

1

m

）•

1

2

（2m+n）=

1

2

（

4m

n

+2+2+

n

m

）≥

1

2

×（4+2

4m n • n m

）=

1

2

（4+4）=4（當且僅當m=

1

2

，n=1時取“=”）．
∴

2

n

+

1

m

的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本題考查基本不等式，考查曲線恒過定點問題，考查轉化與整體代入思想，屬于中檔題．