Question

如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．設為線段的中點．

（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）若圓在點處的切線與軸交于點，試判斷直線與軌跡的位置關系．

 

 

Answer 1

（1）;（2）相切

【解析】

試題分析：（1）由于點在圓上運動, 為線段的中點,根據兩點坐標的關系,以及點P在圓上,即可得到結論.

（2）由（1）得到軌跡的方程為橢圓方程.切線PE的斜率有兩種情況：斜率不存在則可得直線與軌跡的位置關系為相切.直線斜率存在則假設點P的坐標,寫出切線方程,以及點N的坐標,再寫出直線MN的方程.聯立橢圓方程,根據判別式的值即可得到結論.

（1）設，則．點在圓上，，

即點的軌跡的方程為． 4分

（2）解法一：

（i） 當直線的斜率不存在時，直線的方程為或．顯然與軌跡相切；

（2）當直線的斜率存在時，設的方程為，

因為直線與圓相切，所以，即． 7分

又直線的斜率等于，點的坐標為．

所以直線的方程為，即. 9分

由得．

．故直線與軌跡相切．

綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切. 13分

解法二 ：設（），則． 5分

（i）當時，直線的方程為或，此時，直線與軌跡相切；

（2）當時，直線的方程為，即．

令，則．，又點，

所以直線的方程為，即． 9分

由得即．

．所以，直線與軌跡相切．

綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切． 13分

考點：1.待定系數法求橢圓的方程.2.直線與圓的位置關系.3.直線與橢圓的位置關系.