Question

【題目】已知函數．

（1）當時，討論的單調性；

（2）若不等式對，恒成立，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求函數的導數，當時，分類討論也可求得的單調性；

（2）若不等式對，恒成立，將原問題等價于對任意的，有成立，設，，，，求函數的最值從而可求正數的取值范圍．

解：函數．

所以．

（1）①當時，，在上單調遞增，

②當時，，，在上單調遞增，

，．在上單調遞減；

，，在上單調遞增．

③當時，，，在上單調遞增，

，，在上單調遞減；

，．在上單調遞增；

（2）若不等式對，恒成立，

原問題等價于對任意的，有成立，

設，，，，

，

令，得：；令，得：．

所以函數在，上單調遞減，在，上單調遞增，

與中的較大者，

設，

則，

所以在上單調遞增，故，即，

從而，故，即．

設，則有，

所以在上單調遞增，

又因為，

所以，可得：，

因為，所以的取值范圍為：，．