Question

【題目】如圖，過(guò)拋物線上一點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于，，當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若直線在軸上的截距時(shí)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（I）設(shè)出，的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，得到，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，把換成，即可得出結(jié)果；（II）由，得出，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，又點(diǎn)到直線的距離為，所以，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)利用單調(diào)性求最值即可．

試題解析：解（Ⅰ）由拋物線過(guò)點(diǎn)，得，

設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，由、傾斜角互補(bǔ)可知，

即，

將，代入得．

（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，由，

得，

由（Ⅰ）得，將其代入上式得．

因此，設(shè)直線的方程為，由，消去得，

由，得，這時(shí)，，

，又點(diǎn)到直線的距離為，所以，

令，則由，令，得或．

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，故的最大值為，故面積的最大值為．

（附：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此求解方法亦得分）