Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，求函數(shù)的所有零點(diǎn)；

(2)若，證明函數(shù)不存在極值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，得到（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），從而得到函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，從而求得結(jié)果；

（2）根據(jù)函數(shù)不存在極值的條件為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合題中所給的參數(shù)的取值范圍，得到在上單調(diào)遞增，從而證得結(jié)果.

（1）解：當(dāng) 時(shí)，，

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

且．

設(shè)，

則 ．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．

即當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，是函數(shù)唯一的零點(diǎn).

所以若，則函數(shù)的所有零點(diǎn)只有．

（2）證法1：因?yàn)?/span>，

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且．

當(dāng)時(shí)，，

由（1）知．

即當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增．

所以不存在極值．

證法2：因?yàn)?/span>，

函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ，且．

設(shè)，

則 ．

設(shè) ，則與同號．

當(dāng) 時(shí)，由，

解得，．

可知當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

由（1）知．

則．

所以，即在定義域上單調(diào)遞增．

所以不存在極值．