Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，四邊形ABEF是正方形.將正方形ABEF沿AB折起到四邊形的位置，使平面平面ABCD，M為的中點(diǎn)，如圖2.

圖1圖2

（1）求證:；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)，以及線面垂直的性質(zhì)，證得，得到平面，即可得到；

（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BC,所在直線為x,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）因?yàn)?/span>為正方形，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，所以平面ABCD，因?yàn)?/span>平面ABCD，所以

設(shè)，則,，且，

平面，又平面，,

（2）如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC,所在直線為x,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,,,

所以,,，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，令,得，，所以，

平面的法向量為，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為θ，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.