Question

【題目】已知直線與拋物線：交于，兩點，且的面積為16（為坐標原點）.

（1）求的方程.

（2）直線經過的焦點且不與軸垂直，與交于，兩點，若線段的垂直平分線與軸交于點，試問在軸上是否存在點，使為定值？若存在，求該定值及的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在,

【解析】

（1）將代入，得，即可表示出的面積，計算可得.

（2）設直線的方程為，聯立直線與曲線方程，根據焦點弦長公式計算出

，求出線段的垂直平分線與軸交于點的坐標，設，則可用含，的式子表示，即可分析當為何值是為定值.

解：（1）將代入，得，

所以的面積為.

因為，所以，

故的方程為.

（2）由題意設直線的方程為，

由得.

設，，則，

所以.

因為線段的中點的橫坐標為，縱坐標為,

所以線段的垂直平分線的方程為,

令，得，所以的橫坐標為，

設，則，

，

所以當且僅當，即時，為定值，且定值為2，故存在點，且的坐標為.