Question

4．數列{a_n}中，a₃=1，a₅=1，如果數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差數列，則a₁₁=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{11}$
• C． -$\frac{1}{13}$
• D． -$\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 推導出數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的公差d=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{5}+1}-\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=0，再求出$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出a₁₁．

解答 解：∵數列{a_n}中，a₃=1，a₅=1，數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差數列，
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的公差d=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{5}+1}-\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$）=0．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{{a}_{3}+1}-2×0$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{11}+1}=\frac{1}{2}$，解得a₁₁=1．
故選：A．

點評 本題考查數列的第11項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．