Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，右頂點為E，過F₁于x軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點為M（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（i）若直線l過定點（1，0），直線AE，BE的斜率為k₁，k₂（k₁≠0，k₂≠0），證明：k₁•k₂為定值；
（ii）若直線l的垂直平分線與x軸交于一點P，求點P的橫坐標x_p的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由已知中橢圓通徑的端點坐標，構造方程組，可得a，b的值，進而可得橢圓C的方程；
（II）經過點P（1，0）的直線l可設為x=my+1，
（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理，可得y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，由橢圓的右頂點為E（2，0），可得：k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{（{my}_{1}-1）（{my}_{2}-1）}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{{{m}^{2}y}_{1}•{y}_{2}-{m（{y}_{1}+y}_{2}）+1}$，進而得到答案；
（ii）利用點差法，可得k_AB=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，故直線l的垂直平分線方程為：y-y₀=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x-x₀），令y=0，得P點橫坐標，結合由H（x₀，y₀）在橢圓內部，可得答案．

解答 解：（I）由已知中過F₁于x軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點為M（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；…3分
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
證明：（i）∵直線l過定點（1，0），設x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$得：（m²+4）y²+2my-3=0，…5分
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
∵右頂點為E（2，0），
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{（{my}_{1}-1）（{my}_{2}-1）}$=$\frac{{y}_{1}•{y}_{2}}{{{m}^{2}y}_{1}•{y}_{2}-{m（{y}_{1}+y}_{2}）+1}$=$\frac{\frac{-3}{{m}^{2}+4}}{{{m}^{2}•\frac{-3}{{m}^{2}+4}}_{1}-m•\frac{-2m}{{m}^{2}+4}+1}$=-$\frac{3}{4}$，
∴k₁•k₂為定值；…8分
（ii）將A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1\\ \frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1\end{array}\right.$，
兩式相減得：$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
∵直線l的垂直平分線與x軸交于一點P，
∴y₁+y₂≠0，x₁-x₂≠0，
∴-$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_AB，
設AB的中點H（x₀，y₀），則k_AB=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
故直線l的垂直平分線方程為：y-y₀=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0，得P點橫坐標為：$\frac{3}{4}{x}_{0}$…10分，
由H（x₀，y₀）在橢圓內部，可得：x₀∈（-2，2），
故$\frac{3}{4}{x}_{0}$∈（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）…12分

點評 本題考查的知識點是橢圓的方程，橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，難度中檔．