Question

如圖，是以為直徑的半圓上異于、的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且.

（1）求證：；

（2）若異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.第一問，先利用面面垂直的性質得到線面垂直垂直于圓所在的平面，再利用線面垂直的性質得到，而在圓內AB為直徑，所以，利用線面垂直的判定得平面，最后利用線面垂直的性質得到結論；第二問，利用向量法，先根據已知條件中的垂直關系建立空間直角坐標系，得到有關點及向量的坐標，利用向量法中的公式，求出平面DCE和平面AEB的法向量，再利用夾角公式求夾角的余弦值.

試題解析：（1）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線為，平面，，∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴. 6分

(2)如圖，

以點為坐標原點，所在的直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.由異面直線和所成的角為，知，

∴，∴，由題設可知，，∴，.設平面的一個法向量為，

由，得，，取，得.

∴.又平面的一個法向量為，∴.

平面與平面所成的銳二面角的余弦值. 13分

（其他解法可參考給分）

考點：線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法.