Question

若(

x

+

2

3 x

)n展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的值可以是（　　）

A．8

B．9

C．10

D．12

Answer 1

分析：由(

x

+

2

3 x

)n展開式中的通項(xiàng)公式Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

2

3 x

)r=2r

C

r n

x

3n-5r

6

．存在常數(shù)項(xiàng)，可得

3n-5r

6

=0，即3n=5r．又因?yàn)閚，r必須為整數(shù)，把選擇支中的整數(shù)代入驗(yàn)證即可．

解答：解：(

x

+

2

3 x

)n展開式中的通項(xiàng)公式Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

2

3 x

)r=2r

C

r n

x

3n-5r

6

．
∵存在常數(shù)項(xiàng)，∴

3n-5r

6

=0，即3n=5r．
經(jīng)驗(yàn)證只有n=10時(shí)，r=6滿足條件．
因此n=10．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)問題，熟練掌握通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．