Question

19．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關于直線$x=\frac{π}{32}$對稱且$f（{-\frac{π}{32}}）=0$，如果存在實數x₀，使得對任意的x都有$f（{x_0}）≤f（x）≤f（{{x_0}+\frac{π}{8}}）$，則ω的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由題意直線$x=\frac{π}{32}$是對稱軸，對稱中心為（$-\frac{π}{32}$，0），${x}_{0}＜x＜{x}_{0}+\frac{π}{8}$不在同一增區間，根據三角函數的性質可求ω的最小值．

解答 解：函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關于直線$x=\frac{π}{32}$對稱且$f（{-\frac{π}{32}}）=0$，
∴ω$\frac{π}{32}$+φ=kπ$+\frac{π}{2}$…①，-ω$\frac{π}{32}$+φ=kπ…②，ωx₀$+\frac{ωπ}{8}$+φ$≤\frac{π}{2}+2kπ$且（ωx₀+φ）≥$-\frac{π}{2}$+2kπ…③
由①②解得ω=8，φ=kπ+$\frac{π}{4}$，（k∈Z）
當k=0時，ω=8，φ=$\frac{π}{4}$，③成立，滿足題意．
故得ω的最小值為8．
故選C．

點評 本題考查了三角函數圖象及性質的綜合運用能力和計算能力．屬于中檔題．