Question

已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外一點O，給出下列命題：
①

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

；       ②

OM

=

OA

-

OB

+

OC

；
③

OM

=

OA

+2

OB

+

AC

；          ④

OM

=2

OA

+

OB

+

AC

．
其中，能推出M，A，B，C四點共面的是（　�。�

A．①②

B．①③

C．②④

D．①④

Answer 1

分析：根據向量共面的充要條件，若由M、A、B、C作為起點或終點，構成的向量中的其中某一個能被其它至多兩個向量線性表示，則M、A、B、C四點共面．由此對①、②、③、④各項依次加以判別，即可得到本題答案．

解答：解：對于①，由

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

得
3

OM

=

OA

+

OB

+

OC

，整理可得

AM

=

MB

+

MC

向量

AM

可以由向量

MB

、

MC

線性表示，所以

AM

、

MB

、

MC

是共面的向量
因此，由①可以推出M、A、B、C四點共面，得①正確；
對于②，由

OM

=

OA

-

OB

+

OC

得

CM

=

BA

，
向量

CM

與

BA

是共線的向量，必定是共面的向量，
因此，由②可以推出M、A、B、C四點共面，得②正確；
同理，由③、④推不出由M、A、B、C構成的向量共面，
故③、④都不能推出M、A、B、C四點共面．
綜上所述，符合題意的條件是①②
故選：A

點評：本題給出幾個向量表示式，要我們找出符合四點共面的條件，著重考查了空間向量共面的充要條件和平面向量的基本定理及其意義等知識，屬于基礎題．