Question

【題目】設a為實數，函數f（x）=x|x﹣a|．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當0≤x≤1時，求f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知函數f（x）的定義域為R．

當a=0時f（x）=x|x﹣a|=x|x|，為奇函數．

當a≠0時，f（x）=x|x﹣a|，

f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，

f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），

∴此時函數f（x）為非奇非偶函數

（2）解：若a≤0，則函數f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數，

∴函數f（x）的最大值為f（1）=|1﹣a|=1﹣a，

若a＞0，由題意可得f（x）= ，

由于a＞0且0≤x≤1，結合函數f（x）的圖象可知，

由 ，

當 ，即a≥2時，f（x）在[0，1]上單調遞增，

∴f（x）的最大值為f（1）=a﹣1；

當 ，

即 時，f（x）在[0， ]上遞增，在[ ，a]上遞減，

∴f（x）的最大值為f（ ）= ；

當 ，即 時，

f（x）在[0， ]上遞增，在[ ，a]上遞減，在[a，1]上遞增，

∴f（x）的最大值為f（1）=1﹣a

【解析】（1）先得出函數f（x）的定義域為R，對a分類討論，結合函數的奇偶性的定義可得結果，（2）當a≤0時，f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數，此時最大值為f（x）=1-a，當a＞0時，對二次函數進行定區間討論得出最大值.
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值即可以解答此題．