Question

12．已知點M為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點，則M到直線x+2y-10=0的距離的最小值是（　�。�

• A． $\frac{7\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據題意，設出橢圓的參數方程，即可得M的坐標可以表示為（3cosθ，2sinθ），利用點到直線的距離公式可得M到直線x+2y-10=0的距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|5sin（θ+ρ）-10|}{\sqrt{5}}$，由三角函數的性質分析可得答案．

解答 解：根據題意，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
則其參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數）
則M的坐標可以表示為（3cosθ，2sinθ），
M到直線x+2y-10=0的距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|5sin（θ+ρ）-10|}{\sqrt{5}}$，
分析可得：d的最小值為$\sqrt{5}$；
故選：C．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，關鍵是設出橢圓的參數方程，利用三角函數的性質求出距離的最小值．